1.1. Khái niệm

Phép chiếu là một quy tắc hình học dùng để biến đổi một đối tượng hình học (như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hay vật thể) từ không gian ba chiều ($R^3$) thành một hình ảnh hai chiều ($R^2$) trên một mặt phẳng nhất định.

Mục đích chính của phép chiếu là:

• Biểu diễn các đối tượng ba chiều trên mặt phẳng.

• Nghiên cứu các tính chất hình học của đối tượng.

Để thực hiện một phép chiếu, ta cần xác định hai yếu tố cơ bản:

1. Tâm chiếu ($S$): Điểm (hoặc hướng) mà từ đó các tia chiếu được phát ra.

2. Mặt phẳng chiếu ($\alpha$): Mặt phẳng mà hình ảnh của đối tượng được tạo thành trên đó (còn gọi là mặt phẳng hình chiếu).

Mỗi điểm $A$ trong không gian sẽ được chiếu thành điểm $A'$ trên mặt phẳng $\alpha$ thông qua một tia chiếu đi qua $A$ và $S$. $A'$ được gọi là hình chiếu của $A$.

1.2. Phép chiếu xuyên tâm (Central Projection)

Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu sử dụng một điểm hữu hạn $S$ làm Tâm chiếu.

• Đặc điểm:

  • Tất cả các tia chiếu đều xuất phát từ điểm $S$.

  • Nếu một đường thẳng không đi qua $S$ và không song song với mặt phẳng chiếu $\alpha$, thì hình chiếu của nó là một đường thẳng.

  • Nếu một đường thẳng song song với $\alpha$, hình chiếu của nó cũng song song với $\alpha$.

  • Hình chiếu của hai đường thẳng song song trong không gian có thể là hai đường thẳng cắt nhau trên mặt phẳng chiếu (gặp nhau tại điểm tụ).

• Ứng dụng: Đây là cơ sở của phối cảnh trong hội họa và kiến trúc, tạo cảm giác về chiều sâu và khoảng cách (các đường song song dường như hội tụ tại một điểm chân trời).

1.3. Phép chiếu song song (Parallel Projection)

Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu, trong đó Tâm chiếu được đẩy ra vô cực. Thay vì một điểm $S$, ta sử dụng một phương chiếu (một hướng) $\vec{d}$ cho tất cả các tia chiếu.

• Đặc điểm:

  • Tất cả các tia chiếu đều song song với nhau và cùng phương $\vec{d}$.


Getty Images

* Phép chiếu song song **bảo toàn tính song song**: Hình chiếu của hai đường thẳng song song trong không gian luôn là hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) trên mặt phẳng chiếu.
* Phép chiếu song song **bảo toàn tỷ số** đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng.
* Hình chiếu của một đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài của đoạn thẳng gốc nhân với $\cos\theta$ (trong đó $\theta$ là góc giữa phương chiếu và đoạn thẳng).

• Ứng dụng: Thường dùng trong kỹ thuật để tạo các bản vẽ kỹ thuật (ví dụ: hình chiếu trục đo).

1.4. Phép chiếu vuông góc (Orthographic Projection)

Phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt quan trọng của phép chiếu song song.

• Đặc điểm:

  • Phương chiếu $\vec{d}$ vuông góc với mặt phẳng chiếu $\alpha$.


Shutterstock

* Các tia chiếu đều vuông góc với mặt phẳng $\alpha$.
* Hình chiếu của một đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng gốc nếu đoạn thẳng đó song song với mặt phẳng chiếu.
* Hình chiếu của một đoạn thẳng có độ dài **ngắn nhất** so với các phép chiếu song song khác nếu đoạn thẳng đó không song song với mặt phẳng chiếu.

• Ứng dụng:

  • Là phương pháp cơ bản trong Bản vẽ Kỹ thuật (ví dụ: chiếu 3 hình chiếu cơ bản: chiếu đứng, chiếu bằng, chiếu cạnh).

  • Được sử dụng trong hình học họa hình để xác định hình dạng và kích thước thực của vật thể.

📝 Tóm tắt và So sánh