3.1. Phương trình vi phân cấp 1

3.1.1. Định nghĩa

- Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng  ,

Trong đó x là biến số độc lập, là hàm số phải tìm

- Nghiệm là hàm số sao cho 

- Nghiệm tổng quát là nghiệm dạng

- Tích phân tổng quát là phương trình xác định nghiệm tổng quát

- Nghiệm riêng là một nghiệm trong nghiệm tổng quát

- Nghiệm kì dị là nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát

- Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. 

3.1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán Cauchy

Cho phương trình vi phân cấp 1 :

Nếu và liên tục trong miền D thì trong lân cận nào đó của x0, tồn tại duy  nhất nghiệm thỏa điều kiện đầu .

3.1.3. Phương trình biến số phân ly

Dạng       

Cách giải

Lấy tích phân hai vế, ta được hay , 

trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), G là một nguyên hàm của g.

Ví dụ: Giải phương trình .

Giải:   Nếu ,  phương trình trở thành

Lấy tích phân hai vế, ta được    

hay                                             

Ta có x = 0, y = 0 cũng thỏa mãn phương trình, nên x = 0, y = 0 là hai nghiệm kì dị của phương trình.