2.4. Cực trị

2.4.1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định trong một miền nào đó, là một điểm trong Ta nói rằng đạt cực trị tại nếu với mọi điểm trong một lân cận nào đó của nhưng khác hiệu số có dấu không đổi.

Nếu  ta có cực tiểu, 

Nếu  ta có cực đại.

2.4.2. Các Định lí 

Định lí 1

Nếu hàm số đạt cực trị tại và có các đạo hàm riêng tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không, nghĩa là

Định lí 2

Giả sử tại ta có và hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong một lân cận nào đó của Đặt Khi đó:

Nếu thì đạt cực trị tại Hơn nữa, là cực tiểu nếu là cực đại nếu

Nếu thì không phải là cực trị.

Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số

; 

Suy ra các điểm dừng .

Tại ta có không phải điểm cực trị.

Tại (1;1) ta có là  điểm cực tiểu

Tại ta có là  điểm cực tiểu